▷ FFT是什么？快速傅里叶FFT变换原理

在数字数据采集过程中，传感器输出模拟信号，这些信号必须经过数字化处理才能被计算机处理。计算机无法像传感器那样存储连续的模拟时间波形，因此它会将信号分解成离散的“片段”或“样本”来存储。数据记录在时域中，但通常需要进行傅里叶变换才能在频域中查看数据。

什么是傅里叶变换？

傅里叶变换是一种数学技术，它能够将磁共振信号分解成一系列具有不同频率、相位和振幅的正弦波之和。这一非凡成果源自法国数学家和物理学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶（1768-1830）的研究。由于磁共振成像中的空间编码涉及频率和相位，因此傅里叶技术可以对其进行分析。

傅里叶证明，任何周期信号 s(t) 都可以写成一系列具有不同振幅、频率和相位的正弦波之和。

其中:

ai 为振幅，

ϕi 为相移，

ω 为基频。

较高阶频率 2ω、3ω 等称为谐波。

例如，方波的傅里叶展开式可以写为

方波的傅里叶合成（图片由宾夕法尼亚州立大学声学专业研究生丹·拉塞尔博士提供）

左侧显示方波的时域信号 s(t)。右侧显示所谓的频域表示 S(ω)。S(ω) 称为 s(t) 的傅里叶变换。通常，S(ω) 是一个复值函数，由谐波频率、相位及其通过傅里叶展开获得的幅度组成。

傅里叶变换是连接 s(t) 和 S(ω) 的数学过程。如果指定了 s(t)，就可以计算 S(ω)，反之亦然。

傅里叶变换方程和逆傅里叶变换方程

为了完整起见，我这里只提供定义方程：

左边的方程是傅里叶变换。右边的方程是逆傅里叶变换。

由于对于给定的 s(t)，S(ω) 的形式并不直观，我绘制了几对傅里叶变换来进行比较。需要注意的是，当 s(t) 在时间上展开时，S(ω) 是紧凑的，反之亦然。由于 sinc 函数在射频脉冲设计中应用广泛，因此值得特别注意。

其傅里叶变换是一个均匀的频带，例如在传统 2D MRI 成像中定义单个切片的频带。

傅里叶变换对。仅显示变换的实部。

什么是傅里叶变换对？

傅里叶变换对是指函数与其傅里叶变换之间的关系，符号表示为 s(t) ⇔ S(f)，在计算机科学中将时间域与频域联系起来。

什么是傅里叶级数？

傅里叶级数 (Fourier series)是数学中一种将周期函数表示为简单谐波（正弦和余弦函数）之和的方法。它可以将复杂的周期信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的组合，每个波都有一个特定的振幅和相位。傅里叶级数在信号处理、图像处理、声学等领域都有广泛的应用。正如我们所说，傅里叶级数用于周期函数。简单地说，这意味着函数以长度为的固定间隔重复其值。

对于一个周期函数f(x): 若满足狄利克雷条件，即在一个周期中，只有有限个第一类间断点以及有限个极值点，则这个函数可以展开成傅里叶级数，若这个傅里叶级数处处收敛于f(x)，则称这个级数是这个函数的傅里叶展开式，即：

傅里叶级数和傅里叶变换有什么区别？

在数学中，傅里叶级数能将任何周期函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数）。傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。

傅里叶级数和傅里叶变换的区别在于，前者用于将周期函数分解为正弦和余弦之和，而后者则用于非周期函数。快速傅里叶变换 (FFT)

快速傅里叶变换 (FFT) 是一种强大的算法，可以将时域数据转换为频域表示，使我们能够分析信号或数据集的频率成分。快速傅里叶变换 (FFT) 广泛应用于信号处理、数据分析和图像处理等各个领域。在本节中，我们将深入探讨 FFT 的概念、工作原理及其应用。

通过将复杂波形分解成各个频率分量，快速傅里叶变换 (FFT) 可以让您看到信号中隐藏的频率——这对于在各种电气工程应用中进行精确的信号分析至关重要。

快速傅里叶变换 (FFT) 可以让您高效地分析信号的频率分量，从而提供通常隐藏在时域中的关键洞察。它是诊断和优化各种应用中系统性能的强大工具。

什么是 FFT (快速傅里叶变换) ?

快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform (FFT)) 是一种计算序列或其逆序列的离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform DFT) 的算法。简而言之，FFT 将时域信号转换为频域信号。此过程有助于您更轻松地分析信号的频率分量。

信号在一段时间内被采样，并被分解成其频率分量。这些分量是具有不同频率的单个正弦振荡，每个频率都有各自的幅度和相位。下图展示了这种变换。在测量的时间段内，信号包含 3 个不同的主频率。

时域和频域中的信号视图

DFT vs FFT

什么是离散傅里叶变换 (DFT)？

离散傅里叶变换 (DFT) 算法将信号样本从时域变换到频域。DFT 广泛应用于频谱分析、应用力学、声学、医学成像、数值分析、仪器仪表和电信领域。

对具有N个样本的时基信号进行 DFT 可以生成同样具有N个值的频率范围表示。如果信号的采样率为 fs，则样本之间的时间间隔为 Δt：

假设 N 个样本为 xi，且 0 ≤ i ≤ N-1，则 DFT 计算公式如下：

其中：k=0, 1, 2, ..., N-1

结果 (Xk, 0 ≤ k ≤ N-1) 是 xi 的频率范围表示。类似于时域中 x 样本之间的时间间隔 Δt，频域中 X 的各个分量之间也会产生频率间隔 Δf。

Δf 也称为频率分辨率。为了提高频率分辨率并降低 Δf，可以增加采样率 N 的数量（fS 为常数），或减少采样率 fS 的数量（N）。

时域中输入信号的 N 个样本在频域表示中等于 N 个值。DFT 公式表明，无论输入信号 xi 是实数还是复数，即使虚部为零，Xk 也是复数。幅度和相位值也可以定义频域表示。

快速傅里叶变换 (FFT)

N 个样本的离散傅里叶变换 (DFT) 计算需要大约 N·N 次复杂的计算，是一项耗时且占用大量内存的计算。如果序列长度是 2 的幂，

其中，m=1, 2, 3 ...

DFT 的计算大约需要 N·log2(N) 次运算。针对这种特殊情况的算法称为快速傅里叶变换 (FFT)。

FFT 的优势在于速度和内存效率。DFT 可以高效处理任意大小的序列，但速度比FFT 慢，并且需要更多内存，因为它会在处理过程中保存中间结果。DIAdem 根据样本数量使用最快的方法，并且可以有效处理长度不为 2 的幂的输入序列。

为什么 FFT 如此重要？

在许多电气工程任务中，尤其是在使用示波器或其他测试设备时，分析信号的频率分量可以提供至关重要的洞察。无论您处理的是噪声、谐波还是信号干扰，快速傅里叶变换 (FFT)都能让您精确地找到起作用的确切频率。

影响快速傅里叶变换 FFT 有效性的因素有哪些？

影响 FFT 有效性的两个关键因素是采样率和块长度 (或分析的数据点数量）。

什么是采样率 (Sampling Rate) ？？

测量系统的采样率或采样频率 fs（例如 48 kHz）是每秒获得的平均样本数（每秒样本数）。

采样率决定了可以精确测量的频率范围。根据奈奎斯特定理，采样率必须至少为目标最高频率的两倍。如果不满足此条件，就会出现混叠，高频分量会被错误地折回到低频频谱中，从而扭曲结果。

什么是块长度 (Blocklength BL)？

FFT块长度 (BL) 即 FFT大小，是指单次快速傅里叶变换 (FFT) 计算中使用的数据点数量。它直接影响 FFT 输出的频率分辨率。块长度越大，分辨率越高，但计算需求也可能会更高。在 FFT 中，它始终是底数 2 的整数幂（例如 2^10 = 1024 个样本）。

块长度和频率分辨率：块长度直接影响 FFT 的频率分辨率。块长度越大，分辨率就越高，从而能够更好地区分间距较小的频率。然而，块长度越大可能需要更多的计算能力和时间，尤其是在实时应用中。

具有较小和较大块长度的信号的FFT

通过这两个基本参数采样率或采样频率 fs 和块长度 BL，可以确定其他测量参数,如带宽，测量时常和频率分辨率等。

带宽 fn（= 奈奎斯特频率）- 该值表示 FFT 可以确定的理论最大频率。

fn = fs / 2

例如，在 48 kHz 的采样率下，理论上可以确定高达 24 kHz 的频率分量。对于模拟系统，由于模拟滤波器（例如，滤波器）的影响，实际可实现的值通常略低于此值。频率为 20 kHz。

测量时长 D - 测量时长由采样率 fs 和块长度 BL 决定。

D = BL / fs。

当 fs = 48 kHz 且 BL = 1024 时，得出 1024/48000 Hz = 21.33 ms。

频率分辨率 df - 频率分辨率表示两次测量结果之间的频率间隔。

df = fs / BL

当 fs = 48 kHz 且 BL = 1024 时，得出 df 为 48000 Hz / 1024 = 46.88 Hz。

实际应用中，采样频率 fs 通常由系统给定。但是，通过选择块长度 BL，可以定义测量时长和频率分辨率。

适用以下原则：

较小的块长度可实现快速重复测量，但频率分辨率较低。

较大的块长度会导致测量重复速度较慢且频率分辨率较低。

快速傅里叶变换FFT 有哪些关键应用？

信号处理：FFT 广泛应用于数字信号处理 (DSP)，用于分析、滤波和修改信号。

频谱分析：工程师使用 FFT 进行频谱分析，帮助他们识别可能影响性能或信号完整性的频率。

通信：FFT 有助于分析调制信号，这在电信等领域至关重要。

音频和语音处理：FFT 用于压缩音频、分析语音信号和消除噪声。

快速傅里叶变换FFT原理

快速傅里叶变换FFT分步概述

了解 FFT原理是充分发挥频域分析潜力的关键。让我们逐步分解该过程，了解如何从原始信号数据转换为清晰的频谱。

1. 信号采样

该过程首先在时域中对信号进行采样。此步骤涉及以固定的间隔（称为采样率）捕获一系列表示信号幅度的数据点。采样率至关重要，因为它决定了在频域中重建信号的精度。根据奈奎斯特定理，采样率必须至少为信号最高频率成分的两倍，以避免混叠（一种由欠采样引起的失真）。

例如，如果您正在分析最大频率为 10 kHz 的音频信号，则采样率至少应为 20 kHz。

采样将连续时间信号转换为离散时间点，使其准备好进行数字处理。采样率越高，数据点就越多，频谱包含的高频信息就越多。

2. FFT算法应用

获得时域样本后，即可应用快速傅里叶变换 (FFT) 算法。FFT 是离散傅里叶变换 (DFT) 的优化版本，它可以更快地计算信号的频率分量，尤其适用于大型数据集。

此FFT算法应用步骤的具体过程如下：

FFT 算法将时域信号分解为不同频率的正弦波和余弦波。

将这些正弦波和余弦波与原始信号进行比较，计算每个频率分量的幅度和相位。

该算法使用一系列复杂的乘法和加法来执行分解，将信号分解为其组成频率。

FFT的优势在于其速度。FFT 不像 DFT 那样逐点处理数据，而是采用分而治之的方法将计算分解为更小、更易于管理的部分，从而将计算复杂度从 O(N²) 降低到 O(N log N)。

3. 输出频谱结果

FFT算法完成工作后，您将得到一个频谱。该频谱显示了信号能量在不同频率上的分布情况。

频谱中的每个点对应一个特定的频率，其值表示原始信号中该频率分量的幅度（或功率）。

频谱通常表示为一个图形，x轴表示频率，y轴表示幅度。图中的峰值表示信号中的主导频率。

例如，如果您正在分析包含多个频率的复杂波形，FFT 可以帮助您了解哪些频率对信号的能量贡献最大。

理解变换

从时域到频域的转换为您提供了观察信号的全新视角。时域显示信号随时间的变化，而频域则突出显示了组合在一起形成整体信号的各个频率分量。这对于噪声滤波、谐波分析和信号调制分析等任务非常有用，因为单靠时域视图无法提供足够的清晰度。

示例：

考虑一个由两个正弦波组成的信号：一个频率为 50 Hz，另一个频率为 200 Hz。在时域中，这两个波会部分重叠，因此很难辨别它们各自的频率。然而，应用 FFT 后，您会清楚地看到频谱中 50 Hz 和 200 Hz 处的两个峰值，相应的幅度代表每个正弦波的强度。

4. 快速傅里叶变换FFT结果分析

获得频谱后，您可以对其进行分析，深入了解信号：

识别关键频率：频谱中的峰值表示主要频率，其中可能包括基频及其谐波。

检测噪声或干扰：可以识别不需要的频率成分，从而更容易应用滤波器将其去除。

监测信号质量：通过评估频谱，您可以评估信号完整性并寻找失真或性能下降的迹象。

通过了解 FFT工作原理，您将获得一个强大的工具，用于在频域中分析和诊断复杂信号。这种逐步转换的方式可以更深入地洞察信号的行为，这对于提升性能、优化设计或解决问题至关重要。

什么时候使用快速傅里叶变换 FFT？

了解何时使用 FFT 有助于简化信号分析工作流程，并提供对信号行为的关键洞察。FFT 算法在分析信号频率成分比简单的时域视图提供更多可操作信息的场景中尤其有用。

以下是快速傅里叶变换 FFT 可以发挥巨大作用的几个关键场景：

噪声识别：如果信号中存在噪声，时域视图可能无法清晰地显示其来源或性质。通过应用 FFT，您可以查看频谱并精确定位噪声发生的特定频段。这使您能够设计滤波器或采取纠正措施来抑制不需要的频率，从而提高信号清晰度。

谐波分析：周期性信号通常由基频和谐波（基频的整数倍）组成。FFT 可以帮助您将基频与其谐波分离，从而测量它们的相对强度。这在电力系统、电机控制和音频信号处理中尤其有用，因为谐波失真会影响性能。

调制分析：在通信系统中，信号通常经过调制，这意味着其特性会被改变以承载信息。FFT 允许您将这些调制信号分解为载波频率和边带频率，从而帮助您研究调制方案并诊断任何可能影响信号完整性的失真或问题。

滤波器设计和验证：在设计或测试滤波器时，FFT 可以帮助您直观地了解滤波器抑制干扰频率并允许所需频率通过的有效性。这使您能够微调滤波器，以在实际条件下获得最佳性能。

系统诊断：对于诊断复杂系统（例如机械振动或配电网络）中的问题，FFT 可以提供问题的频域视图。例如，识别机械振动中的主导频率可以帮助您追踪机器磨损或不平衡的根源。

在这些情况下使用 FFT 不仅可以节省时间，还可以更深入地了解信号行为，从而更轻松地做出明智的决策并实施有效的解决方案。

快速傅里叶变换FFT的优势与局限性

快速傅里叶变换FFT有什么优势？

速度：FFT 比传统的 DFT 快得多，因此适用于实时应用。

效率：FFT 可以高效处理大型数据集，这在处理高分辨率信号时非常有用。

多功能性：FFT 的应用范围非常广泛，从音频信号处理到机械系统的振动分析。

快速傅里叶变换FFT 的局限性

分辨率：FFT 的频率分辨率取决于数据点的数量和采样率。您可能需要在时间分辨率和频率分辨率之间取得平衡。

加窗：对非周期信号进行 FFT 处理时，如果不加窗，可能会引入频谱泄漏等伪影，从而影响频率分析。

什么是非周期信号？

通信的本质在于信息传递。然而，周期信号由于其可预测性，其信息传递的可能性有限。在接收到几个周期并确定其模式后，我们知道接下来的周期将完全相同。信号在开始时可能传达重要信息，例如火警警报，一旦听到声音就会立即采取行动。但是，如果信号的幅度、频率、相位或任何其他方面都保持不变，则几乎无法向接收者传递任何进一步的信息。因此，在实际通信中，完全周期性信号是例外。承载真实信息（例如语音、音乐或视频）的信号不会无限重复。

非周期信号（也称为非周期信号）与周期信号不同，它们不只有一个特定的频率。相反，它们分布在连续的频率范围内。例如，语音信号的范围从大约 100 Hz 到几千 Hz（对于电话质量的语音，通常假设范围为 300 Hz 到 3400 Hz）。

周期信号 vs 非周期信号

快速傅里叶变换FFT 在测试设备中的应用

快速傅里叶变换FFT 是一款强大的工具，集成于许多现代测试仪器中，例如示波器、频谱分析仪和数据采集系统。通过将时域信号转换为频域，FFT 可以实时可视化和分析信号的频率成分，从而更轻松地诊断和排除复杂问题。

例如，在数字示波器中，FFT 功能允许您在时域和频域之间快速切换。只需按几下按钮，即可将频谱叠加到时域信号上，帮助您识别噪声、谐波失真或信号干扰等问题。此功能在实时系统上工作时尤其有用，因为这些系统需要进行时间关键型分析。

频谱分析仪也高度依赖 FFT 来捕获和显示从射频到音频等各种信号的频谱。FFT 算法使这些分析仪能够高效处理大量数据，让您详细了解信号随时间的变化，并能够精确定位特定的频率异常。

数据采集系统 (DAQ) 通常在后处理中使用 FFT，帮助工程师分析机械振动、结构测试或声学中的频率响应。这有助于更深入地了解系统性能，并确保信号保持在可接受的参数范围内。

结论

快速傅里叶变换 (FFT) 是现代信号分析中必不可少的工具，它能够将复杂的时域信号分解成其频率分量。

无论您是识别噪声、分析谐波还是研究调制信号，FFT 都能简化您的工作流程，并帮助您获得关键洞察。FFT 可以集成到示波器、频谱分析仪和其他测试设备中，使频率分析更快、更高效。

如果您正在考虑升级测试设备，不妨了解一下是德科技的示波器、频谱分析仪、函数发生器和万用表系列产品。您将以超值的价格获得可靠的高性能工具，完美满足您的高级信号分析需求。

参考内容：

参考: 常用傅里叶变换对

傅里叶变换对

傅里叶变换对 - 左侧的时间函数是右侧频率函数的傅里叶变换，反之亦然。可以显示更多的变换对。以上均为偶函数，因此相位为零。实奇函数的变换为虚函数，即它们的相移为 +π/2。非奇函数也非偶函数的变换相位随频率变化。注意 f=1/t。

快速傅里叶变换FFT术语

在学习数字信号处理的过程中，我们可能会遇到一些令人困惑的名词，如DFT、DTFT、DFS、FFT、FT和FS等。这些名词究竟代表着什么呢？我们可能会遇到的一些术语包括FT（傅里叶变换）、FS（傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）和FFT（快速傅里叶变换）。

时域：信号的幅度随时间变化的表示形式。

频域：信号的幅度随频率变化的表示形式。

频率分量：构成复信号的各个频率。

幅度和相位：频域中每个频率分量所包含的信息。幅度表示频率的强度，相位表示其相对于参考点的位置。

FFT应用：FFT 广泛应用于信号处理、音频分析、医学成像等各个领域。它们可以完成噪声滤波、谐波分析和信号调制分析等任务。

加窗：FFT分析中用于减少频谱泄漏的技术，频谱泄漏可能在分析非完美周期信号时发生。不同的窗口函数（例如，Hanning、Hamming、Blackman）在频率和幅度分辨率之间提供不同的权衡。

傅里叶变换(FT): 它主要用于分析连续非周期信号。由于这类信号包含各种频率成分，因此其时域连续非周期的特性在频域中对应着连续非周期的频谱。傅里叶级数 (FS): 它适用于时域上任意连续的周期信号。这类信号可以被分解为无数个正弦信号的叠加，从而在频域中呈现出离散非周期的特性，即连续周期的时域信号对应着离散非周期的频域信号。离散傅里叶变换 (DFT):这种变换在时域和频域上都呈现离散的形式，它将信号的时域采样转化为DTFT的频域采样。需要注意的是，尽管变换两端的序列在形式上是有限长的，但它们实际上都被视为离散周期信号的主值序列。因此，即使是对有限长的离散信号进行DFT处理，我们也应该将其视为周期延拓的变换。在实际应用中，我们通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。

在时域进行采样后，需进行频域采样以适应计算机处理。经过一系列的变换，得到离散频域信号，便于计算和分析。对于计算机处理而言，DFT与DFS在本质上是一致的，只在描述方式上略有不同。通过DFT，我们可以有效地进行频域分析，而其与FFT的联系则为我们提供了更为高效的计算方式。

一般惯例是使用 N 个频率，每个频率之间相隔 2*pi/N 弧度。2*pi 对应于原始波形一个周期（即我们采集 N 个时间样本的周期）内的角频率变化。我们将其划分为 N 个频率“箱”，并用索引变量 k 进行索引。

从数学上来说，这表示为

由于DFT本质上是DTFT的采样版本，因此它也具有周期性，周期为N（即采样的频率样本数）。因此，DFT也表示为一个“周期”（离散频率周期-N）。这在定义中是隐含的。从数学上讲，这种周期性可以通过观察离散（时间和频率）指数的周期性来体现。

离散时间傅里叶变换 (STFT): 也是傅里叶变换的一种重要形式。它专门用于离散非周期序列的分析。与连续傅里叶变换类似，离散时间傅里叶变换要求离散序列在时间轴上的级数求和必须收敛。由于这类信号本身是非周期的，它们包含了各种频率成分，因此DTFT在频域中产生的频谱是连续的。也就是说，离散非周期的时域信号对应着连续周期的频域信号。

离散傅里叶级数 (DFS)，是一种适用于离散周期信号的分析工具。虽然严格来说，当离散信号为周期序列时，傅里叶变换并不适用，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛的傅里叶变换条件，但DFS却能对其进行有效的傅里叶分析。

傅里叶级数使用无穷多个复指数来表示信号。即使信号频率是离散的，其数量也是无穷大的。频率点的数量将是无穷大的。然而，任意两个频率点之间的频率点数量是有限的。因此，得到的是离散的频谱。为了能够在计算机上计算傅里叶级数，我们选择有限数量的频率点（复指数）。这被称为离散傅里叶级数 (DFS)。（由于傅里叶级数只能用于周期信号，因此在信号的单个周期内，样本数量是有限的）。与离散傅里叶变换一样，惯例是使用 N 个频率，每个频率之间的间隔为 2*pi/N 弧度。这里，2*pi 对应于一个周期内的角度变化。我们将其分成 N 个频率“区间”，并用索引变量 k 进行索引。

离散信号使用 DFS 表示如下：

其中复数系数由下式给出：

如您所见，这是 N 个离散复指数的线性组合：

DFS 也具有周期性，周期为 N（即一个周期内采样的数量）。因此，它也表示为一个周期。从数学上讲，这种周期性可以通过观察复系数的周期性来体现：

快速傅里叶变换 FFT则是DFT的高效算法，它通过利用DFT的奇偶虚实特性进行算法改进，从而大大提高了计算速度。

傅里叶变换及其应用

对于时域上连续且周期的函数，我们可以利用傅里叶级数（FS）将其分解为频域上非周期、连续的变换对，这些变换对以幅值和相位进行表征。这符合“时域上连续对应频域非周期、时域上周期对应频域离散”的规则。

若时域上函数连续但非周期，那么傅里叶变换（FT）则适用于将其表示为频域上非周期、连续的变换对。

当处理时域上离散的序列非周期函数时，离散时间傅里叶变换（DTFT）被用来表示频域上周期、连续的变换对。

在计算机处理中，由于频域也需要进行离散化，因此时域上的采样必须离散化，同时频域上的计算也需离散化。

离散时间傅里叶变换（DTFT): 离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform - DTFT）用于离散非周期信号的分析。它在形式上与连续傅里叶变换类似，但在适用范围上更侧重于处理离散序列。其在频域产生的连续频谱为分析离散非周期信号提供了有效手段，与DFT在概念上有所不同，但又紧密联系。

离散时间傅里叶变换 (DTFT) 只不过是离散序列傅里叶变换的一个别称。它的定义如下：

频率变量是连续的，但由于信号本身是在离散时刻定义的，因此得到的傅里叶变换也是在离散时刻定义的。时间点的数量仍然是无限的。只是任意两个时间点之间的点数是有限的。我们还知道，采样信号的傅里叶变换是原始信号频谱在采样频率间隔的频率上的一系列复制。

从数学上来说，这可以用以下公式来表达

这里T是采样周期。

因此，这是 DTFT 的另一种数学表达式。如我们所见，DTFT 是周期性的，其周期等于采样频率。因此，我们通常用单个周期来表示 DTFT，如下所示。这在定义中是隐含的。

从数学上来说，这种周期性也可以通过观察离散（时间）指数的周期性来看出

DFS vs FFT - 离散傅里叶级数（DFS）和快速傅里叶变换（FFT）

DFS用于离散周期信号的分析，为周期信号分解提供了理论基础。其频域表现为一系列谱线，与DFT之间存在一一对应关系。FFT则为DFT的高效算法，通过巧妙的算法设计大幅降低了计算复杂度，使快速傅里叶变换在工程实践中得以广泛应用。

未经同意，请勿转载